设某种器件使用寿命(单位：小时)服从参数为λ的指数分布，其平均使用寿命为20小时．在使用中当一个器件损坏后立即更换另一个新的器件，如此连续下去．已知每个器件进价为a元，试求在年计划中应为此器件做多少预算，才可以有95％的把握保证一年够用(假定一年按2000

admin2016-11-03 47

问题设某种器件使用寿命(单位：小时)服从参数为λ的指数分布，其平均使用寿命为20小时．在使用中当一个器件损坏后立即更换另一个新的器件，如此连续下去．已知每个器件进价为a元，试求在年计划中应为此器件做多少预算，才可以有95％的把握保证一年够用(假定一年按2000个工作小时计算)．

选项

答案设年计划购进n个此种器件，则预算应为na元．每个器件使用寿命为X_i(1≤i≤n)，则X_i相互独立，且都服从参数为λ的指数分布．依题意知 λ=1／20， E(X_i)=1／λ， D(X_i)=1／λ²，且n应使 P([*]X_i≥2000)≥0．95，即 P(0≤[*]X_i＜2000)≤0．05．由于n相当大，且 [*] 根据独立分布的中心极限定理，得到 [*] 解得n≥118，故年计划预算最少为118a元．

解析求解与随机变量之和的概率有关的问题时，常利用其分布律进行，但随机变量个数较多时，可利用中心极限定理近似计算．

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考研数学一

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