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设二阶常系数线性微分方程y"+ay’+by=ce有特解y=e2x+(1+x)ex,确定常数a,b,c,并求该方程的通解.
设二阶常系数线性微分方程y"+ay’+by=ce有特解y=e2x+(1+x)ex,确定常数a,b,c,并求该方程的通解.
admin
2015-07-10
94
问题
设二阶常系数线性微分方程y"+ay’+by=ce有特解y=e
2x
+(1+x)e
x
,确定常数a,b,c,并求该方程的通解.
选项
答案
将y=e
2x
+(1+x)e
x
代入原方程得 (4+2a+b)e
2x
+(3+2a+b)e
x
+(1+a+b)xe
x
=ce
x
,则有 [*]解得a=一3,b=2,c=一1, 原方程为y"一3y’+2y=一e
x
. 原方程的特征方程为λ
x
一3λ+2=0,特征值为λ
1
=1,λ
2
=2,则y"一3y’+2y=0的通解为y=C
1
e
x
+C
2
e
2x
,于是原方程的通解为y=C
1
e
x
+C
2
e
2x
+e
2x
+(1+x)e
x
.
解析
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考研数学三
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