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设f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件|f(x)|≤a,|f’’(x)|≤b,其中a,b都是非负常数,c是(0,1)内任意一点。证明|f’(c)|≤2a+
设f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件|f(x)|≤a,|f’’(x)|≤b,其中a,b都是非负常数,c是(0,1)内任意一点。证明|f’(c)|≤2a+
admin
2017-01-14
54
问题
设f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件|f(x)|≤a,|f’’(x)|≤b,其中a,b都是非负常数,c是(0,1)内任意一点。证明|f’(c)|≤2a+
选项
答案
对f(x)在x=c处应用泰勒公式,展开可得 f(x)=f(c)+f’(c)(x-c)+[*](x-c)
2
, (*) 其中ξ=c+θ(x-c),0<θ<1。 在(*)式中令x=0,则有 f(0)=f(c)+f’(c)(0-c)+[*](0-c)
2
,0<ξ
1
<c<1, 在(*)式中令x=1,则有 f(1)=f(c)+f’(c)(1-c)+[*](1-c)
2
,0<ξ
2
<c<1, 将上述的两个式子相减得到 f(1)-f(0)=f’(c)+[*][f’’(ξ
2
)(1-c)
2
-f’’(ξ
1
)c
2
], 因此 |f’(c)|=|f(1)-f(0)-[*][f’’(ξ
2
)(1-c)
2
-f’’(ξ
1
)c
2
]| ≤|f(1)|+|f(0)|+[*]|f’’(ξ
2
)|(1-c)
2
+[*]|f’’(ξ
1
)|c
2
≤2a+[*][(1-c)
2
+c
2
]。 又因当c∈(0,1)时,有(1-c)
2
+c
2
≤1,所以|f’(c)|≤2a+[*]
解析
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考研数学一
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