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  3. 设f(x)在[0，1]上具有二阶导数，且满足条件｜f(x)｜≤a，｜f’’(x)｜≤b，其中a，b都是非负常数，c是(0，1)内任意一点。证明｜f’(c)｜≤2a+

设f(x)在[0，1]上具有二阶导数，且满足条件｜f(x)｜≤a，｜f’’(x)｜≤b，其中a，b都是非负常数，c是(0，1)内任意一点。证明｜f’(c)｜≤2a+

admin2017-01-14  51
问题 设f(x)在[0，1]上具有二阶导数，且满足条件｜f(x)｜≤a，｜f’’(x)｜≤b，其中a，b都是非负常数，c是(0，1)内任意一点。证明｜f’(c)｜≤2a+
选项
答案对f(x)在x=c处应用泰勒公式，展开可得 f(x)=f(c)+f’(c)(x-c)+[*](x-c)2， (*) 其中ξ=c+θ(x-c)，0＜θ＜1。 在(*)式中令x=0，则有 f(0)=f(c)+f’(c)(0-c)+[*](0-c)2，0＜ξ1＜c＜1， 在(*)式中令x=1，则有 f(1)=f(c)+f’(c)(1-c)+[*](1-c)2，0＜ξ2＜c＜1， 将上述的两个式子相减得到 f(1)-f(0)=f’(c)+[*][f’’(ξ2)(1-c)2-f’’(ξ1)c2]， 因此 ｜f’(c)｜=｜f(1)-f(0)-[*][f’’(ξ2)(1-c)2-f’’(ξ1)c2]｜ ≤｜f(1)｜+｜f(0)｜+[*]｜f’’(ξ2)｜(1-c)2+[*]｜f’’(ξ1)｜c2 ≤2a+[*][(1-c)2+c2]。 又因当c∈(0，1)时，有(1-c)2+c2≤1，所以｜f’(c)｜≤2a+[*]
解析
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考研数学一

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