设f(x，y)与f(x，y)均为可微函数，且φ’y(x，y)≠0．已知点(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )

admin2017-05-18 50

问题设f(x，y)与f(x，y)均为可微函数，且φ’_y(x，y)≠0．已知点(x₀，y₀)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )

选项 A、若f’_x(x₀，y₀)=0，则f’(x₀，y₀)=0．
B、若f’_x(x₀，y₀)=0，则f’(x₀，y₀)≠0．
C、若f’_x(x₀，y₀)≠0，则f’(x₀，y₀)=0．
D、若f’_x(x₀，y₀)≠0，则f’(x₀，y₀)≠0．

答案D

解析这是一个与条件极值相关的定性问题，应从拉格朗日乘数法入手考虑．作拉格朗日函数
L(x，y)=f(x，y)+λφ(x，y)，
由拉格朗日乘数法及点(x₀，y₀)是f(x，y)在条件φ(x，y)=0的一个极值点，有

如果f’_x(x₀，y₀)≠0，则必有f’_y(x₀，y₀)≠0(否则，由f’_y(x₀，y₀)=0及(2)式知λφ’_y(x₀，y₀)=0，由φ’_y(x₀，y₀)≠0得λ=0，再由(1)式得f’_x(x₀，y₀)=0，与已知条件f’_x(x₀，y₀)≠0矛盾)．故应选D．

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考研数学一

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