设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f’(x)≠1，又设f(a)＞a，f(b)＜b，证明存在唯一的点ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=ξ．

admin2016-04-01 29

问题设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f’(x)≠1，又设f(a)＞a，f(b)＜b，证明存在唯一的点ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=ξ．

选项

答案构造函数F(x)=f(x)-x，F(x)在[a，b]上连续，F(a)＞0，F(b)＜0，所以，至少存在一点ξ∈(a，b)，使得F(ξ)=0，即：f(ξ)=ξ．反证法：若存在两点ξ₁，ξ₂，使得F(ξ₁)=F(ξ₂)，F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则至少存在一点ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0，即：f’(ξ)=1，与题意不符．所以，仅存在一点至少存在一点ξ∈(a，b)，使得F(ξ)=0，即：f(ξ)=ξ．

解析

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