设D=为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵． (1)计算PDP，其中P=． (2)利用(1)的结果判断矩阵B一CTA—1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

admin2017-07-26 49

问题设D=

为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵．
(1)计算PDP，其中P=

．
(2)利用(1)的结果判断矩阵B一C^TA^—1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

选项

答案[*] (2)矩阵B一C_TA_—1C是正定矩阵．由(1)的结果可知，矩阵．D合同于矩阵 [*] 又D为正定矩阵，可知矩阵M为正定矩阵．因矩阵M为对称矩阵，故B一C_TA_—1C为对称矩阵．对X=(0，0，…，0)_T及任意的Y=(y₁，y₂，…，y_n)_T≠0，有 (X_T，Y_T)[1152*]=Y_T(B一C_TA_TC)Y＞0．故B一C_TA_TC为正定矩阵．

解析

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