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设对称矩阵求正交矩阵P使PTAP为对角矩阵.
设对称矩阵求正交矩阵P使PTAP为对角矩阵.
admin
2014-10-27
27
问题
设对称矩阵
求正交矩阵P使P
T
AP为对角矩阵.
选项
答案
因为矩阵A是对称矩阵,所以其特征值都是实数,且对应的特征向量都线性无关,先求出特征值,然后求出相应的特征向量,最后把特征向量正交单位化就可以求出正交矩阵.解 (1)首先求特征值. [*] 特征值为λ
1
=0(三重),λ
2
=4. (2)其次求特征向量.当λ
1
=0时,求(λ
1
I-A)x=0的基础解系 [*] 解之得基础解系为α
1
=(一1,1,0,0)
T
,α
2
=(一1,0,1,0)
T
,α
3
=(一1,0,0,1)
T
,将α
1
,α
2
,α
3
正交化,得β
1
=α
1
=(一1,1,0,0)
T
, [*] 再将β
1
,β
2
,β
3
单位化,得 [*] 当λ
2
=4时,求(λ
2
I—A)x=0的基础解系 [*] 得基础解系为 α
4
=(1,1,1,1)
T
,将α
4
=(1,1,1,1)
T
单位化,得 [*] (3)令P=(η
1
,η
2
,η
3
,η
4
),则有 [*]
解析
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本试题收录于:
线性代数(经管类)题库公共课分类
0
线性代数(经管类)
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