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已知A=[α1,α2,α3,α4]是4阶矩阵,β是4维列向量,若方程组Ax=β的通解是(1,2,2,1)T+k(1,一2,4,0)T,又B=[α3,α2,α1,β一α4],求方程组Bx=α1—α2的通解.
已知A=[α1,α2,α3,α4]是4阶矩阵,β是4维列向量,若方程组Ax=β的通解是(1,2,2,1)T+k(1,一2,4,0)T,又B=[α3,α2,α1,β一α4],求方程组Bx=α1—α2的通解.
admin
2017-07-26
115
问题
已知A=[α
1
,α
2
,α
3
,α
4
]是4阶矩阵,β是4维列向量,若方程组Ax=β的通解是(1,2,2,1)
T
+k(1,一2,4,0)
T
,又B=[α
3
,α
2
,α
1
,β一α
4
],求方程组Bx=α
1
—α
2
的通解.
选项
答案
由方程组的解Ax=β的结构知 r(A)=r[α
1
,α
2
,α
3
,α
4
]=3, α
1
+2α
2
+2α
3
+α
4
=β,α
1
—2α
2
+α
3
=0. 因为B=[α
3
,α
2
,α
1
,β一α
4
]=[α
3
,α
2
,α
1
,α
1
+2α
2
+2α
3
],且α
1
,α
2
,α
3
线性相关,可见r(B)=2. 由[*]=α
1
—α
2
知,(0,一1,1,0)
T
是方程组Bx=α
1
—α
2
的一个解. [*] 知(4,一2,1,0)
T
,(2,一4,0,1)
T
是Bx=0的两个线性无关的解,故Bx=α
1
—α
2
的通解是 (0,一1,1,0)
T
+k
1
(4,一2,1,0)
T
+k
2
(2,一4,0,1)
T
.
解析
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考研数学三
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