已知A=[α1,α2,α3,α4]是4阶矩阵,β是4维列向量,若方程组Ax=β的通解是(1,2,2,1)T+k(1,一2,4,0)T,又B=[α3,α2,α1,β一α4],求方程组Bx=α1—α2的通解.

admin2017-07-26  78

问题 已知A=[α1,α2,α3,α4]是4阶矩阵,β是4维列向量,若方程组Ax=β的通解是(1,2,2,1)T+k(1,一2,4,0)T,又B=[α3,α2,α1,β一α4],求方程组Bx=α1—α2的通解.

选项

答案由方程组的解Ax=β的结构知 r(A)=r[α1,α2,α3,α4]=3, α1+2α2+2α34=β,α1—2α23=0. 因为B=[α3,α2,α1,β一α4]=[α3,α2,α1,α1+2α2+2α3],且α1,α2,α3线性相关,可见r(B)=2. 由[*]=α1—α2知,(0,一1,1,0)T是方程组Bx=α1—α2的一个解. [*] 知(4,一2,1,0)T,(2,一4,0,1)T是Bx=0的两个线性无关的解,故Bx=α1—α2的通解是 (0,一1,1,0)T+k1(4,一2,1,0)T+k2(2,一4,0,1)T

解析
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