设A为n阶矩阵．若Ak-1α≠0，而Akα=0．证明：向量组α，Aα，……，Ak-1α线性无关．

admin2022-04-02 65

问题设A为n阶矩阵．若A^k-1α≠0，而A^kα=0．证明：向量组α，Aα，……，A^k-1α线性无关．

选项

答案令 l₀α+l₁Aα+……+l_k-1A^k-1α=0 (*) (*)两边同时左乘A^k-1得l₀A^k-1α=0，因为A^k-1α≠0，所以l₀=0； (*)两边同时左乘A^k-2得l₁A^k-1α=0，因为A^k-1α≠0，所以l₁=0，依次类推可得l₂=……=l_k-1=0，所以α，Aα，……，A^k-1α线性无关．

解析

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