2. 考研
  3. 设a0，a1，an－1是n个实数，方阵 (1)若λ是A的特征值，证明：ξ=[1，λ，λ2，…，λn－1]T是A的对应于特征值λ的特征向量； (2)若A有n个互异的特征值λ1，λ2，…，λn，求可逆阵P，使Pλ1AP=A．

设a0，a1，an－1是n个实数，方阵 (1)若λ是A的特征值，证明：ξ=[1，λ，λ2，…，λn－1]T是A的对应于特征值λ的特征向量； (2)若A有n个互异的特征值λ1，λ2，…，λn，求可逆阵P，使Pλ1AP=A．

admin2019-08-06  56
问题 设a0，a1，an－1是n个实数，方阵

(1)若λ是A的特征值，证明：ξ=[1，λ，λ2，…，λn－1]T是A的对应于特征值λ的特征向量；
(2)若A有n个互异的特征值λ1，λ2，…，λn，求可逆阵P，使Pλ1AP=A．
选项
答案(1)λ是A的特征值，则λ应满足｜λE－A｜=0，即 ｜λE－A｜=[*]=0． 将第2列乘λ，第3列乘λ2，…，第n列乘λn－1加到第1列，再按第1列展开，得 [*] 即λn+[*]aiλi=0，即λ应满足关系λn=[*]aiλi． [*] 得证ξ=[1，λ，λ2，…，λn－1]T是A的对应于λ的特征向量． (2)因λ1，λ2，…，λn互异，故特征向量ξ1，ξ2，…，ξn线性无关，取可逆阵P=[ξ1，ξ2，…，ξn]，得 P－1AP=[*] 其中ξi=[1，λi，λi2，…，λin－1]T，i=1，…，n．
解析
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考研数学三

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