已知平面上三条直线的方程为 l1:ax+2by+3c=0, l2:bx+2cy+3a=0, l3:cx+2ay+3b=0. 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.

admin2019-02-23  38

问题 已知平面上三条直线的方程为
l1:ax+2by+3c=0,
l2:bx+2cy+3a=0,
l3:cx+2ay+3b=0.
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.

选项

答案l1,l2,l3交于一点即方程组 [*] 有唯一解,即系数矩阵的秩=增广矩阵的秩=2. [*] 则方程组系数矩阵的秩=r(A),增广矩阵的秩=r(B),于是l1,l2,l3交于一点<=>r(A)=r(B)=2. 必要性 由于r(B)=2,则|B|=0.计算出 |B|=-(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) =[*](a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]. a,b,c不会都相等(否则r(A)=1),即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0.得a+b+c=0. 充分性 当a+b+c=0时,|B|=0,于是r(A)≤r(B)≤2.只用再证r(A)=2,就可得到 r(A)=r(B)=2. 用反证法.若r(A)<2,则A的两个列向量线性相关.不妨设第2列是第1列的A倍,则b=λa,c=λb,a=λc.于是λ3a=a,λ3b=b,λ3c=c,由于a,b,c不能都为0,得λ3=1,即λ=1,于是a=b=c.再由a+b+c=0,得a=b=c=0,这与直线方程中未知数的系数不全为0矛盾.

解析
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