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  3. 设二次型f(x，y，z)=2x2+y2-4xy-4yz，用正交变换x=Qy将其化为标准形，并写出Q。

设二次型f(x，y，z)=2x2+y2-4xy-4yz，用正交变换x=Qy将其化为标准形，并写出Q。

admin2021-04-02  21
问题 设二次型f(x，y，z)=2x2+y2-4xy-4yz，用正交变换x=Qy将其化为标准形，并写出Q。
选项
答案[*]，其二次型矩阵[*]，x=(x，y，z)T，令 [*] 得A得特征值为λ1=-2，λ2=1，λ3=4 当λ1=-2时， [*] 得特征向量ξ1=(1，2，2)T 当λ2=1时， [*] 得特征向量ξ2=(2，1，-2)T 当λ3=4时， [*] 得特征向量ξ3=(2，-2，1)T ξ1，ξ2，ξ3已相互正交，只需单位化： [*] 即为所求正交矩阵。 记y=(u，v，w)T，则经x=Qy，有 f(x，y，z)=xTAx=yTQTAQy=yTAy=-2u2+v2+4w2。
解析
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考研数学一

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