已知一抛物线过Ox轴上两点A(1，0)、B(3，0)，记0≤x≤1时，抛物线与Ox轴、Oy轴围成的平面图形为S1，在1≤x≤3上抛物线与Ox轴围成的平面图形为S2．证明：S1与S2的面积相等；

admin2022-06-04 78

问题已知一抛物线过Ox轴上两点A(1，0)、B(3，0)，记0≤x≤1时，抛物线与Ox轴、Oy轴围成的平面图形为S₁，在1≤x≤3上抛物线与Ox轴围成的平面图形为S₂．
证明：S₁与S₂的面积相等；

选项

答案设过A(1，0)，B(3，0)两点的抛物线方程为y=k(x-1)(x-3)． (1)当0＜x＜1时，(x-1)(x-3)＞0；当1＜x＜3时(x-1)(x-3)＜0，故图形S₁的面积为 ∫₀¹｜k(x-1)(x-3)｜dx=｜k｜∫₀¹(x²-4x+3)dx=[*]｜k｜图形S₂的面积为 ∫₁³｜k(x-1)(x-3)｜dx=-｜k｜∫₁³(x²-4x+3)dx=[*]｜k｜因此S₁与S₂的面积相等．

解析

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考研数学三

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设二阶常系数微分方程y〞＋ayˊ＋βy＝ye2x有一个特解为y＝e2x＋(1＋x)ex，试确定α、β、γ和此方程的通解．
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已知f’(0)存在，求满足的函数f(x)．
设函数z=f(x，y)(xy≠0)满足，则dz=__________．
已知矩阵相似．求x，y，z的值；
设A，B为n阶矩阵．(1)是否有AB～BA；(2)若A有特征值1，2，…，n，证明：AB～BA．
设函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且f(a)=g(b)=0，g’(x)＜0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得
把二重积分f(x，y)dxdy写成极坐标下的累次积分的形式(先r后θ)，其中D由直线x+y=1，x=1，y=1围成．
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已知一抛物线过Ox轴上两点A(1，0)、B(3，0)，记0≤x≤1时，抛物线与Ox轴、Oy轴围成的平面图形为S1，在1≤x≤3上抛物线与Ox轴围成的平面图形为S2． 证明：S1与S2的面积相等；

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