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已知一抛物线过Ox轴上两点A(1,0)、B(3,0),记0≤x≤1时,抛物线与Ox轴、Oy轴围成的平面图形为S1,在1≤x≤3上抛物线与Ox轴围成的平面图形为S2. 证明:S1与S2的面积相等;
已知一抛物线过Ox轴上两点A(1,0)、B(3,0),记0≤x≤1时,抛物线与Ox轴、Oy轴围成的平面图形为S1,在1≤x≤3上抛物线与Ox轴围成的平面图形为S2. 证明:S1与S2的面积相等;
admin
2022-06-04
53
问题
已知一抛物线过Ox轴上两点A(1,0)、B(3,0),记0≤x≤1时,抛物线与Ox轴、Oy轴围成的平面图形为S
1
,在1≤x≤3上抛物线与Ox轴围成的平面图形为S
2
.
证明:S
1
与S
2
的面积相等;
选项
答案
设过A(1,0),B(3,0)两点的抛物线方程为y=k(x-1)(x-3). (1)当0<x<1时,(x-1)(x-3)>0;当1<x<3时(x-1)(x-3)<0, 故图形S
1
的面积为 ∫
0
1
|k(x-1)(x-3)|dx=|k|∫
0
1
(x
2
-4x+3)dx=[*]|k| 图形S
2
的面积为 ∫
1
3
|k(x-1)(x-3)|dx=-|k|∫
1
3
(x
2
-4x+3)dx=[*]|k| 因此S
1
与S
2
的面积相等.
解析
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考研数学三
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