设A是三阶实对称矩阵，满足A3=2A2+5A一6E，且kE+A是正定阵，则k的取值范围是_________。

admin2018-02-07 69

问题设A是三阶实对称矩阵，满足A³=2A²+5A一6E，且kE+A是正定阵，则k的取值范围是_________。

选项

答案k＞2

解析根据题设条件，则有A³一2A²—5A+6E=0。设A有特征值λ，则λ满足条件λ³一2λ²一5λ+6=0，将其因式分解可得λ³一2λ²一5λ+6=(λ一1)(λ+2)(λ一3)=0，因此可知矩阵A的特征值分别为1，一2，3，故kE+A的特征值分别为k+1，k一2，k+3，且当k＞2时，kE+A的特征值均为正数。故k＞2。

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