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设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数,求证: (b-a)[f(a)+f(b)]+f″(x)(x-a)(x-b)dx.
设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数,求证: (b-a)[f(a)+f(b)]+f″(x)(x-a)(x-b)dx.
admin
2016-10-26
61
问题
设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数,求证:
(b-a)[f(a)+f(b)]+
f″(x)(x-a)(x-b)dx.
选项
答案
连续利用分部积分有 [*]f(x)dx=[*]f(x)d(x-b)=f(a)(b-a)-[*]f′(x)(x-b)d(x-a) =f(a)(b-a)+[*](x-a)d[f′(x)(x-b)] =f(a)(b-a)+[*]f″(x)(x-a)(x-b)dx =f(a)(b-a)+f(b)(b-a)-[*]f″(x)(x-a)(x-b)dx, 移项后得 [*](b-a)[f(a)+f(b)]+[*]f″(x)(x-a)(x-b)dx.
解析
很自然的想法是用分部积分法,但要注意“小技巧”:
f(x)d(x-a),
这样改写后分部积分的首项简单.这一点考生应熟练掌握.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/uhu4777K
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考研数学一
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