设αi=(αi1,αi2……αin)T(i=1,2,…,r,r<n)是n维实向量,且α1,α2……αr线性无关,已知β=(b1,b2,…,bn)T是线性方程组 的非零解向量,试判断向量组α1,α2

admin2018-04-18  51

问题 设αi=(αi1i2……αin)T(i=1,2,…,r,r<n)是n维实向量,且α12……αr线性无关,已知β=(b1,b2,…,bn)T是线性方程组

的非零解向量,试判断向量组α12
选项

答案设有一组数x1,x2 ,……xx+1,使得x1α1+x2α2+…+xα+xrαr+xr+1β=0, (*) 用βT左乘(*)式两端,由于β是方程组的非零解,所以βTαi=0(i=1,2,…,r),从而得xr+1βTβ=0,而β≠0,故βTβ≠0,从而xr+1=0,代入(*)式并注意到向量组α12……αr线性无关,可得x1=0,x2=0,…,xr=0,所以向量组α12……αr,β线性无关.

解析 本题是向量与方程组的综合题.注意β=(b1,b2,…,bn)T是线性方程组的解,则有

即βTαi=0(i=1,2,…,r).
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