(2006年)设函数y=f(x)具有二阶导数,且f′(x)>0,f"(x)>0,△x为自变量x在X0处的增量,△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分,若△x>0,则( )

admin2018-03-11  32

问题 (2006年)设函数y=f(x)具有二阶导数,且f′(x)>0,f"(x)>0,△x为自变量x在X0处的增量,△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分,若△x>0,则(    )

选项 A、0<dy<△y
B、0<△y<dy
C、△y<dy<0
D、dy<△y<0

答案A

解析 方法一:图示法。
    因为f′(x)>0且f"(x)>0,所以f(x)严格单调增加且f(x)是凹函数,作函数y=f(x)的图形。
    结合图分析,就可以明显得出结论:0<dy<△y。
   
    方法二:用两次拉格朗日中值定理
    △y—dy=f(x0+△x)一f(x0)一f′(x0)△x(前两项用拉格朗日中值定理)
           =f′(ξ)△x—f′(x0)△x(再用一次拉格朗日中值定理)
           =f"(η)(ξ一x0)△x(x00+△x,x0<η<ξ),
由于f"(x)>0,从而△y—dy>0。又由于dy=f′(x0)△x>0,故选A。
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