2. 考研
  3. (2006年)设函数y=f(x)具有二阶导数，且f′(x)＞0，f"(x)＞0，△x为自变量x在X0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则( )

(2006年)设函数y=f(x)具有二阶导数，且f′(x)＞0，f"(x)＞0，△x为自变量x在X0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则( )

admin2018-03-11  35
问题 (2006年)设函数y=f(x)具有二阶导数，且f′(x)＞0，f"(x)＞0，△x为自变量x在X0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则(    )
选项 A、0＜dy＜△y
B、0＜△y＜dy
C、△y＜dy＜0
D、dy＜△y＜0
答案A
解析 方法一：图示法。
    因为f′(x)＞0且f"(x)＞0，所以f(x)严格单调增加且f(x)是凹函数，作函数y=f(x)的图形。
    结合图分析，就可以明显得出结论：0＜dy＜△y。
   
    方法二：用两次拉格朗日中值定理
    △y—dy=f(x0+△x)一f(x0)一f′(x0)△x(前两项用拉格朗日中值定理)
           =f′(ξ)△x—f′(x0)△x(再用一次拉格朗日中值定理)
           =f"(η)(ξ一x0)△x(x0<ξ0+△x，x0＜η＜ξ)，
由于f"(x)＞0，从而△y—dy＞0。又由于dy=f′(x0)△x＞0，故选A。
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考研数学一

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