已知n(n≥3)阶实矩阵A=(αij)n×n满足条件：(1)αij=Aij(i，j=1，2，…，n)，其中Aij是αij的代数余子式；(2)aij≠0．求｜A｜．

admin2015-08-17 24

问题已知n(n≥3)阶实矩阵A=(α_ij)_n×n满足条件：(1)α_ij=A_ij(i，j=1，2，…，n)，其中A_ij是α_ij的代数余子式；(2)a_ij≠0．求｜A｜．

选项

答案由已知α_ij=A_ij，所以A^*=A^T，且AA^*=AA^T=｜A｜E．两边取行列式得｜AA^T｜=｜A｜^T=｜A｜²=｜A｜｜E｜=｜A｜ⁿ．从而｜A｜=1 或｜A｜=0．由于a₁₁≠0，可知｜A｜=a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂+…+a_1nA_1n=a₁₁²+a₁₂²+…+a_1n²＞0．于是｜A｜=1.

解析

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考研数学一

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