设 (Ⅰ)求满足Aξ2=ξ1，A2ξ2=ξ1的所有向量ξ2，ξ3； (Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．

admin2017-04-24 41

问题设

(Ⅰ)求满足Aξ₂=ξ₁，A²ξ₂=ξ₁的所有向量ξ₂，ξ₃；
(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量ξ₂，ξ₃，证明ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关．

选项

答案(Ⅰ)设ξ₂=(x₁，x₂，x₃)^T，解方程组Aξ₂=ξ₁，由 [*] 得x₁=一x₂，x₃=1一2x₂(x₂任意)．令自由未知量x₂=一c₁，则得 ξ₂=[*]，其中c₁为任意常数．设ξ₃= (y₁，y₂，y₃)^T，解方程组A²ξ₃=ξ₁，由 [A²，ξ₁]=[*] 得y₂=[*]一 y₂(y₂，y₃任意)．令自由未知量y₂=c₂，y₃=c₃，则得 [*] 其中c₂，c₃为任意常数． (Ⅱ)3个3维向量ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关的充要条件是3阶行列式D=|ξ₁，ξ₂，ξ₃|≠0．而 [*] 所以ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关．

解析

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考研数学二

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设 (Ⅰ)求满足Aξ2=ξ1，A2ξ2=ξ1的所有向量ξ2，ξ3； (Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．

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