2. 考研
  3. 已知函数f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（0）=0，f（1）=1。证明： （Ⅰ）存在f∈（0，1），使得f（ξ）=1一ξ； （Ⅱ）存在两个不同的点η，ζ∈（0，1），使得f’（η）f’（ζ）=1。

已知函数f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（0）=0，f（1）=1。证明： （Ⅰ）存在f∈（0，1），使得f（ξ）=1一ξ； （Ⅱ）存在两个不同的点η，ζ∈（0，1），使得f’（η）f’（ζ）=1。

admin2017-01-21  51
问题 已知函数f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（0）=0，f（1）=1。证明：
（Ⅰ）存在f∈（0，1），使得f（ξ）=1一ξ；
（Ⅱ）存在两个不同的点η，ζ∈（0，1），使得f’（η）f’（ζ）=1。
选项
答案（Ⅰ）令F（x）=f（x）—1+x，则F（x）在[0，1]上连续，且F（0）=一1＜0，F（1）=1＞ 0，于是由介值定理知，存在ξ∈（0，1），使得F（ξ）=0，即f（ξ）=1—ξ。 （Ⅱ）在[0，ξ]和[ξ，1]上对f（x）分别应用拉格朗日中值定理知，存在两个不同的点η∈（0，ξ），ζ∈（ξ，1），使得 [*]
解析
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考研数学三

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