设二次型f=x12+x22+x32+2ax1x2+2βx2x3+2x1x3，经正交变换x=Py化成f=yx22+2y3x3，P是3阶正交矩阵．试求常数a、β．

admin2020-02-27 53

问题设二次型f=x₁²+x₂²+x₃²+2ax₁x₂+2βx₂x₃+2x₁x₃，经正交变换x=Py化成f=yx₂²+2y₃x³，P是3阶正交矩阵．试求常数a、β．

选项

答案变换前后二次型的矩阵分别为[*] 二次型可以写成f=x^TAx和f=y^TBy，由于P^TAP=B，P为正交矩阵，故P^-1AP=B，因此[*] λ³-3λ²+(2-a²-β²)λ+(a-β)²=λ³-3λ²+2λ，比较系数得a=β=0．

解析

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考研数学三

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