2. 考研
  3. 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。 求A的特征值与特征向量；

设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。 求A的特征值与特征向量；

admin2018-04-12  71
问题 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。
求A的特征值与特征向量；
选项
答案因为矩阵A的各行元素之和均为3，所以[*]，则由特征值和特征向量的定义知，λ=3是矩阵A的特征值，α=(1，1，1)T是对应的特征向量，对应λ=3的全部特征向量为kα，其中k是不为零的常数。 又由题设知Aα1=0，Aα2=0，即Aα1=0．α1，Aα2=0．α2，而且α1，α2线性无关，所以λ=0是矩阵A的二重特征值，α1，α2是其对应的特征向量，对应λ=0的全部特征向量为k1α1+k2α2，其中k1，k2为不全为零的常数。
解析 线性方程组Ax=0的解即为特征值0的特征向量，矩阵的各行元素之和为3等价于A(1，1，1)T=(3，3，3)T=3(1，1，1)T，从而得到(1，1，1)T是A的特征向量，对应的特征值为3。
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考研数学二

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