设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。求A的特征值与特征向量；

admin2018-04-12 63

问题设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α₁=(一1，2，一1)^T，α₂=(0，一1，1)^T是线性方程组Ax=0的两个解。
求A的特征值与特征向量；

选项

答案因为矩阵A的各行元素之和均为3，所以[*]，则由特征值和特征向量的定义知，λ=3是矩阵A的特征值，α=(1，1，1)^T是对应的特征向量，对应λ=3的全部特征向量为kα，其中k是不为零的常数。又由题设知Aα₁=0，Aα₂=0，即Aα₁=0．α₁，Aα₂=0．α₂，而且α₁，α₂线性无关，所以λ=0是矩阵A的二重特征值，α₁，α₂是其对应的特征向量，对应λ=0的全部特征向量为k₁α₁+k₂α₂，其中k₁，k₂为不全为零的常数。

解析线性方程组Ax=0的解即为特征值0的特征向量，矩阵的各行元素之和为3等价于A(1，1，1)^T=(3，3，3)^T=3(1，1，1)^T，从而得到(1，1，1)^T是A的特征向量，对应的特征值为3。

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考研数学二

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