设函数f(x)在[0，π]上连续，且。试证明在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0。

admin2017-01-14 62

问题设函数f(x)在[0，π]上连续，且

。试证明在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ₁，ξ₂，使f(ξ₁)=f(ξ₂)=0。

选项

答案令F(x)=[*]，0≤x≤π，则有F(0)=0，F(π)=0。又因为 [*] 所以存在ξ∈(0，π)，使F(ξ)sinξ=0，不然，则在(0，π)内F(x)sinx恒为正或恒为负，与[*]矛盾，但当ξ∈(0，π)时sinξ≠0，故F(ξ)=0。再对F(x)在区间[0，ξ]，[ξ，π]上分别用罗尔定理知，至少存在ξ₁∈(0，ξ)，ξ₂∈(ξ，π)，使得F’(ξ₁)=F’(ξ₂)=0，即f(ξ₁)=f(ξ₂)=0。

解析

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考研数学一

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