设z＝z(χ，y)有连续的二阶偏导数并满足 (Ⅰ)作变量替换u＝3χ＋y，v＝χ＋y，以u，v作为新的自变量，变换上述方程； (Ⅱ)求满足上述方程的χ(χ，y)．

admin2016-10-21 26

问题设z＝z(χ，y)有连续的二阶偏导数并满足

(Ⅰ)作变量替换u＝3χ＋y，v＝χ＋y，以u，v作为新的自变量，变换上述方程；
(Ⅱ)求满足上述方程的χ(χ，y)．

选项

答案(Ⅰ)将名对χ，y的偏导数转换为χ对u，v的偏导数．由复合函数求导法得 [*] 这里[*]仍是u，v的函数，而u，v又是χ，y的函数，因而 [*] 将②，③，④代入原方程①得 [*] 即原方程①变成[*]＝0． ⑤ (Ⅱ)由题(Ⅰ)，在变量替换u＝3χ＋y，v＝χ＋y下，求解满足①的z＝z(χ，y)转化为求解满足⑤的z＝z(u，v)．由⑤式[*]＝0，对v积分得[*]＝f(u)，其中f(u)为任意的有连续导数的函数．再对u积分得z＝φ(u)＋ψ(v)，其中φ，ψ为任意的有连续的二阶导数的函数．回到原变量得z＝φ(3χ＋y)＋ψ(χ＋y)．

解析

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考研数学二

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设z＝z(χ，y)有连续的二阶偏导数并满足 (Ⅰ)作变量替换u＝3χ＋y，v＝χ＋y，以u，v作为新的自变量，变换上述方程； (Ⅱ)求满足上述方程的χ(χ，y)．

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