对于一切实数t,函数f(t)连续的正函数且可导，同时有f(－t)=f(t),又函数 g(x)=∫-aa|x－t|f(t)dt,a＞0,x∈[－a,a] 将g(x)的最小值当作a的函数，使其等于f(a)－a2－1，并求f(x).

admin2022-10-08 41

问题对于一切实数t,函数f(t)连续的正函数且可导，同时有f(－t)=f(t),又函数
g(x)=∫_-a^a|x－t|f(t)dt,a＞0,x∈[－a,a]

将g(x)的最小值当作a的函数，使其等于f(a)－a²－1，并求f(x).

选项

答案由2∫₀^atf(t)dt=f(a)－a²－1 ② 将上式两边对a求导，则有 2af(a)=f’(a)－2a,即[*] 积分，得ln[f(x)+1]=x²+C。由②式知f(0)=1,C=ln2得 f(x)+1=2[*] 即f(x)=2[*]－1

解析

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考研数学三

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