2. 考研
  3. 设3元的实二次型f=xTAx的秩为1，且A的各行元素之和为3． 求一个正交变换x=Py将二次型f=xTAx化成标准；

设3元的实二次型f=xTAx的秩为1，且A的各行元素之和为3． 求一个正交变换x=Py将二次型f=xTAx化成标准；

admin2019-12-26  63
问题 设3元的实二次型f=xTAx的秩为1，且A的各行元素之和为3．
求一个正交变换x=Py将二次型f=xTAx化成标准；
选项
答案由A的各行元素之和为3知，λ1=3是A的特征值，其对应的特征向量为α1=k(1，1，1)T，k≠0为任意常数．由二次型f=xTAx的秩为1知r(A)=1，所以A有二重特征值λ2=λ3=0，设其对应的特征向量为x=(x1，x2，x3)T，则有(x，α1)=0，即x1+x2+x3=0，解得λ2=λ3=0对应的特征向量为 [*] 取[*]显然α1，α2，α3正交，单位化得 [*] 令 [*] 则P为正交矩阵，x=Py为正交变换，将二次型f=xTAx化成标准形． f=3y12．
解析
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考研数学三

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