首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
[2012年] (Ⅰ)证明方程xn+xn-1+…+x=l(n>1的整数),在区间(1/2,1)内有且仅有一个实根;(Ⅱ)记(I)中的实根为xn,证明xn存在,并求此极限.
[2012年] (Ⅰ)证明方程xn+xn-1+…+x=l(n>1的整数),在区间(1/2,1)内有且仅有一个实根;(Ⅱ)记(I)中的实根为xn,证明xn存在,并求此极限.
admin
2019-04-05
115
问题
[2012年] (Ⅰ)证明方程x
n
+x
n-1
+…+x=l(n>1的整数),在区间(1/2,1)内有且仅有一个实根;(Ⅱ)记(I)中的实根为x
n
,证明
x
n
存在,并求此极限.
选项
答案
可用零点定理和命题1.1.7.5证明(Ⅰ),用夹逼定理证明(Ⅱ). 证 (Ⅰ)令F
n
(x)=x
n
+x
n-1
+…+x一1,f
n
(x)=x
n
+x
n-1
+…+x.显然F
n
(x) 在[1/2,1]上连续,又F
n
(1)=n一1>0(因n>1). F
n
(1/2)=(1/2)
n
+(1/2)
n-1
+…+1/2—1=[*][(1/2)
n-1
+(1/2)
n-2
+…+1]一1 =f
n
[*]<0. 由闭区间上连续函数的零点定理(见定理1.1.7.1)知,在开区间(1/2,1)内,方程F
n
(x)=0即 f
n
(x)=1至少存在一实根.又因 F'
n
(x)=nx
n-1
+(n~1)x
n-2
+…+l>0, 其中x∈(1/2,1),故F
n
(x)=f
n
(x)一1在(1/2,1)内单调.由命题1.1.7.5知,方程F
n
(x)=0, 即f
n
(x)=1在(1/2,1)内仅存在一个实根x
n
.因而f
n
(x
n
)=1. (Ⅱ)为证[*]x
n
存在,并求此极限,对f
n
(x)在区间[1/2,x
n
]上使用拉格朗日中值定理 得到:存在ξ
n
∈(1/2,x
n
),使得 [*]=f'
n
(ξ
n
), 因f'
n
(ξ
n
)=nξ
n-1
+(n一1)ξ
n-1
+…+1>1(因ξ>1/2,n>1),故 ∣f
n
(x
n
)一f
n
(1/2)∣=∣f'
n
(ξ
n
)∣∣x
n
一1/2∣>∣x
n
一1/2∣. 而 ∣f
n
(x
n
)一f
n
(1/2)∣=f
n
(x
n
)一f
n
(1/2)=1一[1一(1/2)
n
]=(1/2)
n
, 故∣x
n
一1/2∣<(1/2)
n
.由0≤∣x
n
一1/2∣≤(1/2)
n
及夹逼定理知 [*]∣x
n
一1/2∣=0, 即[*]∣x
n
∣=1/2. 因而[*]x
n
存在,且[*]x
n
=1/2.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/vXV4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3)。证明存在ξ∈(0,3),使f’’(ξ)=0。
计算下列反常积分:(1)∫-∞+∞(|x|+x)e-|x|dx;
当χ→1时,f(χ)=的极限为().
(18年)设则
(2012年)设区域D由曲线y=sin,x=,y=1围成,则(xy5-1)dxdy=
[2013年]曲线上对应于t=1的点处的法线方程为__________.
[2018年]设A,B为n阶矩阵,记r(X)为矩阵X的秩,(XY)表示分块矩阵,则().
[2011年]设平面区域D由直线y=x,圆x2+y2=2y及y轴所围成,如图1.5.2.2所示,则二重积分xydσ=_________.
[2017年]微分方程y"一4y′+8y=e2x(1+cos2x)的特解可设为y*=().
[2013年]设A=.B=,当a,b为何值时,存在矩阵C使得AC—CA=B,并求所有矩阵C.
随机试题
习近平总书记在北京师范大学看望教师和学生时说:“一个人遇到好老师是人生的幸运,一个学校拥有好老师是学校的光荣,一个民族源源不断涌现出一批叉一批好老师则是民族的希望。”好老师关系到民族的振兴与发展,习近平总书记提出“四有”好老师,“四有”即有理想信念、有道德
肺根部的毗邻是()
关于母乳喂养哪项不对
堆石坝坝体中,垫层区压实后要求平均空隙率小于()。
在票据转让中,转让汇票的背书人与受让汇票的被背书人在汇票上的签章依次前后衔接称为()。
下列各项中,影响利润表“所得税费用”项目金额的有()。
下列不属于开展社区人居环境重建工作的专业方法的是( )。
学生:军训:体能
AcupunctureRecently,acupuncturehasbecomea【1】_____wordinAmerica.【1】_____.AcupuncturewasperformedinChina
不仅耗水量大的工业,甚至一些城市里与日常生活息息相关的行业例如洗车业、公共洗浴场所和水疗中心(SPAcenter)的用水都将受到限制。
最新回复
(
0
)