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[2002年] 已知A,B为三阶矩阵,且满足2A-1B=B一4E,其中E是三阶单位矩阵. (1)证明矩阵A一2E可逆;(2)若B=,求矩阵A.
[2002年] 已知A,B为三阶矩阵,且满足2A-1B=B一4E,其中E是三阶单位矩阵. (1)证明矩阵A一2E可逆;(2)若B=,求矩阵A.
admin
2019-08-01
50
问题
[2002年] 已知A,B为三阶矩阵,且满足2A
-1
B=B一4E,其中E是三阶单位矩阵.
(1)证明矩阵A一2E可逆;(2)若B=
,求矩阵A.
选项
答案
将所给等式变形整理为(A一2E)C=E的形式可证A一2E可逆,也可利用命题2.2.1.6证之.进而求解矩阵方程. 解一 (1)在所给矩阵等式两边左乘A,利用AA
-1
=E,有 2B=AB一4A, (A一2E)B一4A=0. 在以上矩阵等式两端同加8E,得到 (A一2E)B-4(A一2E)=8E, 即 (A一2E)[(B一4E)/8]=E. 故A一2E可逆,且A一2E=[(B一4E)/8]
-1
,即A=[(B一4E)/8]
-1
+2E. (2)利用命题2.2.1.5(1)易求得 (B一4E)
-1
=[*] 则 A=2E+8(B一4E)
-1
=[*] ① 解二 利用命题2.2.1.6求之.由所给方程易求得AB一4A一2B=0,因而a=-4,b=-2,c=0,ab—c=8≠0.由该命题即得 (A一2E)(B一4E)=8E, A一2E=[(B一4E)/8]
-1
=8(B一4E)
-1
, 即A=2E+8(B一4E)
-1
.由解一知式①成立.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/dPN4777K
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考研数学二
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