2. 考研
  3. [2002年] 已知A，B为三阶矩阵，且满足2A-1B=B一4E，其中E是三阶单位矩阵． (1)证明矩阵A一2E可逆；(2)若B=，求矩阵A．

[2002年] 已知A，B为三阶矩阵，且满足2A-1B=B一4E，其中E是三阶单位矩阵． (1)证明矩阵A一2E可逆；(2)若B=，求矩阵A．

admin2019-08-01  103
问题 [2002年]  已知A，B为三阶矩阵，且满足2A-1B=B一4E，其中E是三阶单位矩阵．
(1)证明矩阵A一2E可逆；(2)若B=，求矩阵A．
选项
答案将所给等式变形整理为(A一2E)C=E的形式可证A一2E可逆，也可利用命题2．2．1．6证之．进而求解矩阵方程． 解一 (1)在所给矩阵等式两边左乘A，利用AA-1=E，有 2B=AB一4A， (A一2E)B一4A=0． 在以上矩阵等式两端同加8E，得到 (A一2E)B－4(A一2E)=8E， 即 (A一2E)[(B一4E)／8]=E． 故A一2E可逆，且A一2E=[(B一4E)／8]-1，即A=[(B一4E)／8]-1+2E． (2)利用命题2．2．1．5(1)易求得 (B一4E)-1=[*] 则 A=2E+8(B一4E)-1=[*] ① 解二 利用命题2．2．1．6求之．由所给方程易求得AB一4A一2B=0，因而a=－4，b=－2，c=0，ab—c=8≠0．由该命题即得 (A一2E)(B一4E)=8E， A一2E=[(B一4E)／8]-1=8(B一4E)-1， 即A=2E+8(B一4E)-1．由解一知式①成立．
解析
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考研数学二

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