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设f在[0,2a]上连续,且f(0)=f(2a).证明:存在点x0∈[0,a],使得f(x0)=f(x0+a).
设f在[0,2a]上连续,且f(0)=f(2a).证明:存在点x0∈[0,a],使得f(x0)=f(x0+a).
admin
2022-10-31
22
问题
设f在[0,2a]上连续,且f(0)=f(2a).证明:存在点x
0
∈[0,a],使得f(x
0
)=f(x
0
+a).
选项
答案
作辅助函数F(x)=f(x)-f(x+a).由f(x)在[0,2a]上连续可知F(x)在[0,a]上也连续.又 F(0)=f(0)-f(a),F(a)=f(a)-f(2a)=f(a)-f(0). 若f(0)=f(a),则取x
0
=0或x
0
=a,即有f(x
0
)=f(x
0
+a).若f(0)≠f(a),则F(0)·F(a)<0.由根的存在性定理知.存在x
0
(0,a),使得F(x
0
)=0,即f(x
0
)=f(x
0
+a). 综上,存在x
0
∈[0,a],使得f(x
0
)=f(x
0
+a).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/vhgD777K
0
考研数学三
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