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考研
设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,则( ).
设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,则( ).
admin
2019-05-10
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问题
设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,则( ).
选项
A、当m>n时,必有行列式∣AB∣≠0
B、当m>n时,必有行列式∣AB∣=0
C、当n>m时,必有行列式∣AB∣≠0
D、当n>m时,必有行列式∣AB∣=0
答案
B
解析
证秩(AB)<m或证ABX=0有非零解(利用命题2.1.2.7)证之.
解一 利用矩阵秩和乘积矩阵秩的两不大于的法则确定正确选项.因AB为m阶矩阵,行列式∣AB∣是否等于零取决于其秩是否小于m.利用矩阵秩的两不大于法则得到:(1)当m>n时,有秩(A)≤min{m,n)=n<m,秩(B)≤min{m,n}=n<m;(2)秩(AB)≤min(秩(A),秩(B)}<m,而AB为m阶矩阵,故∣AB∣=0.仅(B)入选.
解二 因BX=0的解必是ABX=0的解.而BX=0是n个方程m个未知数的齐次线性方程组.当m>n时,BX=0有非零解,从而ABX=0有非零解,故∣AB∣=0.仅(B)入选.
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