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  3. 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )．

设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )．

admin2019-05-10  68
问题 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则(    )．
选项 A、当m＞n时，必有行列式∣AB∣≠0
B、当m＞n时，必有行列式∣AB∣=0
C、当n＞m时，必有行列式∣AB∣≠0
D、当n＞m时，必有行列式∣AB∣=0
答案B
解析  证秩(AB)＜m或证ABX=0有非零解(利用命题2．1．2．7)证之．
    解一  利用矩阵秩和乘积矩阵秩的两不大于的法则确定正确选项．因AB为m阶矩阵，行列式∣AB∣是否等于零取决于其秩是否小于m．利用矩阵秩的两不大于法则得到：(1)当m＞n时，有秩(A)≤min{m，n)=n＜m，秩(B)≤min{m，n}=n＜m；(2)秩(AB)≤min(秩(A)，秩(B)}＜m，而AB为m阶矩阵，故∣AB∣=0．仅(B)入选．
    解二  因BX=0的解必是ABX=0的解．而BX=0是n个方程m个未知数的齐次线性方程组．当m＞n时，BX=0有非零解，从而ABX=0有非零解，故∣AB∣=0．仅(B)入选．
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考研数学二

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