“两角差的余弦公式”是高中数学教材中的重要公式，只有对两角差的余弦有了认识，才能够以此为基础推导其他三角恒等变换公式。这是一个逻辑推理过程，也是一个认识三角函数式的特征，体会三角恒等变换特点的过程。请完成下列问题：写出“两角差的余弦公式”的探

admin2022-08-12 103

问题 “两角差的余弦公式”是高中数学教材中的重要公式，只有对两角差的余弦有了认识，才能够以此为基础推导其他三角恒等变换公式。这是一个逻辑推理过程，也是一个认识三角函数式的特征，体会三角恒等变换特点的过程。
请完成下列问题：
写出“两角差的余弦公式”的探究过程(要求使学生意识到，向量方法可能是解决问题的工具)。

选项

答案教学探究过程一、问题引入问题，对于cos(α-β)=cosα-cosβ，你们同意这个观点吗?说说理由。二、探索新知活动1 (教师活动)提出问题：究竟该如何计算cos(α-β)?对于求角的余弦这种问题，我们有哪些方法? (学生活动)回忆三角函数定义、三角函数线以及平面向量数量积运算等相关知识。活动2 (教师活动)引导学生尝试用向量的方法来探究如何计算cos(α-β)。先复习两个向量数量积的定义与坐标运算公式，定义式：a·b=｜a｜·｜b｜·cosθ；坐标式：a·b=x₁x₂+y₁y₂。 (学生活动)在平面直角坐标系中作单位圆，以x轴非负半轴为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B，则A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)。试用A，B两点的坐标表示∠AOB的余弦值。 (教师活动)引导学生经历用向量方法探究，求cos(α-β)，结合图形，明确应选择哪几个向量，它们怎么用坐标表示，怎样利用数量积计算公式得到推导结果。 (学生活动)计算OA·OB，得到OA·OB=cosαcosβ+sinαsinβ；另一方面，从定义式计算OA·OB=｜OA｜·｜OB｜cos(α-β)=cos(α-β)，得出结论cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ。活动3 (教师活动)引导学生思考α，β，α-β的范围，完善公式的推导。 (学生活动)提出α-β的任意性，而向量夹角为[0，π]，学生产生疑惑：α-β与向量之间的夹角θ有什么关系呢? (教师活动)几何画板动态展示，引导学生结合计算机图形语言和三角函数诱导公式对公式的严密性进行论证。 ①α-β∈[0，π]，α-β=θ+2kπ；②α-β∈(π，2π]，α-β=2kπ-θ，根据终边相同的角的性质，有cos(α-β)=cosθ。活动4 (教师活动)引导学生说出两角差的余弦公式的结构特点。 (学生活动)发现公式左边是差角的余弦，右边是单角同名三角函数值乘积之和。

解析

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