设f(x)是区间[0，π／4]上的单调、可导函数，且满足∫0f(x)(t)dt=∫0ttdt，其中f－1是f的反函数，求f(x)。

admin2018-04-14 89

问题设f(x)是区间[0，π／4]上的单调、可导函数，且满足∫₀^f(x)(t)dt=∫₀^tt

dt，其中f^－1是f的反函数，求f(x)。

选项

答案已知等式∫₀^f(x)f^－1(t)dt=∫₀^xt[*]dt，两边对x求导得 f^－1(f(x))f’(x) [*] 两边积分得 f(x)=ln(sinx+cosx)+C，(*) 将x=0代入题中方程可得∫₀^f(0)f^－1(t)dt=∫₀⁰t[*]dt=0。因为f(x)是区间[0，π／4]上的单调、可导的函数，则f^－1(x)的值域为[0，π／4]，单调非负，所以f(0)=0。代入(*)式可得C=0，故f(x)=ln(sinx+cosx)。

解析

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