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设f(x)是区间[0,π/4]上的单调、可导函数,且满足∫0f(x)(t)dt=∫0ttdt,其中f-1是f的反函数,求f(x)。
设f(x)是区间[0,π/4]上的单调、可导函数,且满足∫0f(x)(t)dt=∫0ttdt,其中f-1是f的反函数,求f(x)。
admin
2018-04-14
44
问题
设f(x)是区间[0,π/4]上的单调、可导函数,且满足∫
0
f(x)
(t)dt=∫
0
t
t
dt,其中f
-1
是f的反函数,求f(x)。
选项
答案
已知等式∫
0
f(x)
f
-1
(t)dt=∫
0
x
t[*]dt, 两边对x求导得 f
-1
(f(x))f’(x) [*] 两边积分得 f(x)=ln(sinx+cosx)+C,(*) 将x=0代入题中方程可得∫
0
f(0)
f
-1
(t)dt=∫
0
0
t[*]dt=0。 因为f(x)是区间[0,π/4]上的单调、可导的函数,则f
-1
(x)的值域为[0,π/4],单调非负,所以f(0)=0。代入(*)式可得C=0,故f(x)=ln(sinx+cosx)。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/vxk4777K
0
考研数学二
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