2. 考研
  3. 设f(x)是区间[0，π／4]上的单调、可导函数，且满足∫0f(x)(t)dt=∫0ttdt，其中f－1是f的反函数，求f(x)。

设f(x)是区间[0，π／4]上的单调、可导函数，且满足∫0f(x)(t)dt=∫0ttdt，其中f－1是f的反函数，求f(x)。

admin2018-04-14  60
问题 设f(x)是区间[0，π／4]上的单调、可导函数，且满足∫0f(x)(t)dt=∫0ttdt，其中f－1是f的反函数，求f(x)。
选项
答案已知等式∫0f(x)f－1(t)dt=∫0xt[*]dt， 两边对x求导得 f－1(f(x))f’(x) [*] 两边积分得 f(x)=ln(sinx+cosx)+C，(*) 将x=0代入题中方程可得∫0f(0)f－1(t)dt=∫00t[*]dt=0。 因为f(x)是区间[0，π／4]上的单调、可导的函数，则f－1(x)的值域为[0，π／4]，单调非负，所以f(0)=0。代入(*)式可得C=0，故f(x)=ln(sinx+cosx)。
解析
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考研数学二

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