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设f(x)在[0,1]上可导,且f(0)=0,0<f’(x)<1,证明:[∫01f(x)dx]2>∫01f3(x)dx.
设f(x)在[0,1]上可导,且f(0)=0,0<f’(x)<1,证明:[∫01f(x)dx]2>∫01f3(x)dx.
admin
2017-12-18
69
问题
设f(x)在[0,1]上可导,且f(0)=0,0<f’(x)<1,证明:[∫
0
1
f(x)dx]
2
>∫
0
1
f
3
(x)dx.
选项
答案
令φ(x)=[∫
0
x
f(t)dt]
2
-∫
0
x
f
3
(t)dt,φ(0)=0, φ’(x)=2f(x)∫
0
x
f(t)dt-f
3
(x)=f(x)[2∫
0
x
f(t)dt-f
2
(x)]. 再令h(x)=2∫
0
x
f(t)dt-f
2
(x),h(0)=0,h’(x)=2f(x)[1-f’(x)]. 由f(0)=0,0<f’(x)<1得f(x)>0(0<x≤1), 则h’(x)=2f(x)[1-f’(x)]>0(0<x≤1), [*] 于是φ(1)>0,即[∫
0
1
f(x)dx]
2
>∫
0
1
f
3
(x)dx.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/w1k4777K
0
考研数学二
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