设f(x)在(一∞，+∞)上具有连续导数，且f’(0)≠0．令F(x)=∫0x(2t一x)f(t)dt．求证：若f(x)为奇函数，则F(x)也是奇函数．

admin2018-06-14 60

问题设f(x)在(一∞，+∞)上具有连续导数，且f’(0)≠0．令F(x)=∫₀^x(2t一x)f(t)dt．
求证：
若f(x)为奇函数，则F(x)也是奇函数．

选项

答案F(x)在(一∞，+∞)上有定义，且F(x)=2∫₀^xtf(t)dt一x∫₀^xf(t)dt，故 F(一x)=2∫₀^-xtf(t)dt+x∫₀^-xf(t)dt．作换元t=一u，则当t：0→一x → u：0→x，且dt=一du，代入可得[*]x有 F(一x)=2∫₀^x(一u)f(一u)(一du)+x∫₀^xf(一u)(一du) =一2∫₀^xu[一f(一u)]du+x∫₀^x[一f(一u)]du =一2∫₀^xuf(u)du+x∫₀^xf(u)du=一[2∫₀^xuf(u)du一x∫₀^xf(u)du]=一F(x)，这表明F(x)是(一∞，+∞)上的奇函数．

解析

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