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  3. 证明：若f(x)为[0，1]上的连续函数．且对一切x∈[0，1]有∫0xf(u)du≥f(x)≥0，则f(x)≥0．

证明：若f(x)为[0，1]上的连续函数．且对一切x∈[0，1]有∫0xf(u)du≥f(x)≥0，则f(x)≥0．

admin2022-11-23  18
问题 证明：若f(x)为[0，1]上的连续函数．且对一切x∈[0，1]有∫0xf(u)du≥f(x)≥0，则f(x)≥0．
选项
答案显然f(0)=0，对任意x0∈(0，1)，有 0≤f(x0)≤[*]f(u)du=f(ξ1)x0，ξ1∈[0，x0]． 而f(x)在[0，1]连续，所以f(x)在[0，1]上存在最大值M． 对于上述的ξ1，有 0≤f(ξ1)≤[*]f(u)du=f(ξ2)·ξ1， 其中ξ2∈[0，ξ1]，从而 0≤f(x0)≤f(ξ2)ξ1x0≤f(ξ2)x02，… 依次进行下去，可知存在ξn∈[0，x0]，使得 0≤f(x0)≤f(ξn)x0n≤Mx0n． 当n→∞时，有[*]Mx0n=0，所以f(x0)=0．又f(x)在[0，1]上连续，所以f(1)=[*]从而对一切x∈[0，1]，有f(x)≡0．
解析
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考研数学三

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