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证明:若f(x)为[0,1]上的连续函数.且对一切x∈[0,1]有∫0xf(u)du≥f(x)≥0,则f(x)≥0.
证明:若f(x)为[0,1]上的连续函数.且对一切x∈[0,1]有∫0xf(u)du≥f(x)≥0,则f(x)≥0.
admin
2022-11-23
26
问题
证明:若f(x)为[0,1]上的连续函数.且对一切x∈[0,1]有∫
0
x
f(u)du≥f(x)≥0,则f(x)≥0.
选项
答案
显然f(0)=0,对任意x
0
∈(0,1),有 0≤f(x
0
)≤[*]f(u)du=f(ξ
1
)x
0
,ξ
1
∈[0,x
0
]. 而f(x)在[0,1]连续,所以f(x)在[0,1]上存在最大值M. 对于上述的ξ
1
,有 0≤f(ξ
1
)≤[*]f(u)du=f(ξ
2
)·ξ
1
, 其中ξ
2
∈[0,ξ
1
],从而 0≤f(x
0
)≤f(ξ
2
)ξ
1
x
0
≤f(ξ
2
)x
0
2
,… 依次进行下去,可知存在ξ
n
∈[0,x
0
],使得 0≤f(x
0
)≤f(ξ
n
)x
0
n
≤Mx
0
n
. 当n→∞时,有[*]Mx
0
n
=0,所以f(x
0
)=0.又f(x)在[0,1]上连续,所以f(1)=[*]从而对一切x∈[0,1],有f(x)≡0.
解析
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考研数学三
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