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  3. 已知A=，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2． 求正交变换x=Qy将f化为标准形．

已知A=，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2． 求正交变换x=Qy将f化为标准形．

admin2019-07-16  122
问题 已知A=，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2．
求正交变换x=Qy将f化为标准形．
选项
答案由于a=－1，所以ATA [*] 矩阵ATA的特征多项式为 |λE－ATA| [*] =(λ－2)(λ2－6λ)=λ(λ－2)(λ－6)， 于是得ATA的特征值为λ1=2，λ2=6，λ3=0． 对于λ1=2，由求方程组(2E－ATA)x=0的一个非零解， 可得属于λ1=2的一个单位特征向量[*](1，－1，0)T； 对于λ2=6，由求方程组(6E－ATA)x=0的一个非零解， 可得属于λ2=6的一个单位特征向量[*](1，1，2)T； 对于λ3=0，由求方程组(ATA)X=0的一个非零解， 可得属于λ3=0的一个单位特征向量[*](1，1，－1)T． 令矩阵 [*] 则f在正交变换X=Qy下的标准形为f=2y12+6y22．
解析
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考研数学三

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