已知A=,二次型f(x1,x2,x3)=xT(ATA)x的秩为2. 求正交变换x=Qy将f化为标准形.

admin2019-07-16  80

问题 已知A=,二次型f(x1,x2,x3)=xT(ATA)x的秩为2.
求正交变换x=Qy将f化为标准形.

选项

答案由于a=-1,所以ATA [*] 矩阵ATA的特征多项式为 |λE-ATA| [*] =(λ-2)(λ2-6λ)=λ(λ-2)(λ-6), 于是得ATA的特征值为λ1=2,λ2=6,λ3=0. 对于λ1=2,由求方程组(2E-ATA)x=0的一个非零解, 可得属于λ1=2的一个单位特征向量[*](1,-1,0)T; 对于λ2=6,由求方程组(6E-ATA)x=0的一个非零解, 可得属于λ2=6的一个单位特征向量[*](1,1,2)T; 对于λ3=0,由求方程组(ATA)X=0的一个非零解, 可得属于λ3=0的一个单位特征向量[*](1,1,-1)T. 令矩阵 [*] 则f在正交变换X=Qy下的标准形为f=2y12+6y22

解析
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