求曲面x2+2y2+3z2=21的切平面，使它平行于平面x+4y+6z=0。

admin2022-08-05 10

问题求曲面x²+2y²+3z²=21的切平面，使它平行于平面x+4y+6z=0。

选项

答案设曲面上过点(x₀，y₀，z₀)的切平面和平面x+4y+6z=0平行，因为曲面上过点(x₀，y₀，z₀)的切平面为2x₀(x-x₀))+4y₀(y-y₀)+6z₀(z-z₀)=0，故[*]，所以2x₀=y₀=z₀，代入曲面方程得x₀²+8x₀²+12x₀²=21，所以x₀=±1，可见在点(1，2，2)和点(-1，-2，-2)处的切平面与所在平面平行。在点(1，2，2)处的切平面为x+4y+6z=21，在点(-1，-2，-2)处的切平面为x+4y+6z=-21。

解析

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