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已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出: (I)证明x=tlnt(t∈[1,+∞))存在连续的反函数t=t(x)(x∈[0,+∞))且该方程确定连续函数y=y(x),x∈[0,+∞); (Ⅱ)求y(x)的单调区间与极值点; (Ⅲ)求y(x)的凹凸区间及拐点
已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出: (I)证明x=tlnt(t∈[1,+∞))存在连续的反函数t=t(x)(x∈[0,+∞))且该方程确定连续函数y=y(x),x∈[0,+∞); (Ⅱ)求y(x)的单调区间与极值点; (Ⅲ)求y(x)的凹凸区间及拐点
admin
2016-07-21
40
问题
已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出:
(I)证明x=tlnt(t∈[1,+∞))存在连续的反函数t=t(x)(x∈[0,+∞))且该方程确定连续函数y=y(x),x∈[0,+∞);
(Ⅱ)求y(x)的单调区间与极值点;
(Ⅲ)求y(x)的凹凸区间及拐点.
选项
答案
先证明x=tint单调,必[*]反函数,于是[*]确定y=y(x),再用参数求导法求出[*]然后确定函数的单调性与凹凸性区间等. (I)因为x
t
’=(tint)’=1+lnt>0(t≥1)x|
t=1
=0,[*]在[1,+∞)单调上升,值域是[*]反函数,记为t=t(x),它在[0,+∞)连续,t(x)≥1.(单调连续函数的反函数连续).再由连续复合函数的连续性[*]在[0,+∞)连续.即该参数方程确定连续函数y=y(x)(x∈[0,+∞))[*]因此y(x)的单调增区间为[0,e],单调减区间为[e,+∞),极大值点x=e. (Ⅲ)[*]
解析
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考研数学二
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