2. 考研
  3. 已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出： (I)证明x=tlnt(t∈[1，+∞))存在连续的反函数t=t(x)(x∈[0，+∞))且该方程确定连续函数y=y(x)，x∈[0，+∞)； (Ⅱ)求y(x)的单调区间与极值点； (Ⅲ)求y(x)的凹凸区间及拐点

已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出： (I)证明x=tlnt(t∈[1，+∞))存在连续的反函数t=t(x)(x∈[0，+∞))且该方程确定连续函数y=y(x)，x∈[0，+∞)； (Ⅱ)求y(x)的单调区间与极值点； (Ⅲ)求y(x)的凹凸区间及拐点

admin2016-07-21  58
问题 已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出：

(I)证明x=tlnt(t∈[1，+∞))存在连续的反函数t=t(x)(x∈[0，+∞))且该方程确定连续函数y=y(x)，x∈[0，+∞)；
(Ⅱ)求y(x)的单调区间与极值点；
(Ⅲ)求y(x)的凹凸区间及拐点．
选项
答案先证明x=tint单调，必[*]反函数，于是[*]确定y=y(x)，再用参数求导法求出[*]然后确定函数的单调性与凹凸性区间等． (I)因为xt’=(tint)’=1+lnt＞0(t≥1)x｜t=1=0，[*]在[1，+∞)单调上升，值域是[*]反函数，记为t=t(x)，它在[0，+∞)连续，t(x)≥1．(单调连续函数的反函数连续)．再由连续复合函数的连续性[*]在[0，+∞)连续．即该参数方程确定连续函数y=y(x)(x∈[0，+∞))[*]因此y(x)的单调增区间为[0，e]，单调减区间为[e，+∞)，极大值点x=e． (Ⅲ)[*]
解析
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考研数学二

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