证明；若f(x)=A，则｜f(x)｜=｜A｜．当且仅当A为何值时反之也成立?

admin2022-10-31 15

问题证明；若

f(x)=A，则

｜f(x)｜=｜A｜．当且仅当A为何值时反之也成立?

选项

答案∵[*]f(x)=A，∴对[*]ε＞0，[*]δ＞0，使得当0＜｜x-x₀｜＜δ时，有｜f(x)-A｜＜ε．于是，对上述的ε＞0，当0＜｜x-x₀｜＜δ时，也有｜｜f(x)｜-｜A｜｜≤｜f(x)-A｜＜ε．故[*]｜f(x)｜=｜A｜．当且仅当A=0时，逆命题成立，证明如下：若[*]｜f(x)｜=0．则对[*]ε＞0，[*]δ＞0，使得当0＜｜x-x₀｜＜δ时，有｜｜f(x)｜-0｜＜ε，即｜f(x)-0｜＜ε．因此，[*]f(x)=0．设A≠0，对于函数[*]，有｜f(x)｜=A，但[*]f(x)不存在。这是因为 [*]

解析

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