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设f(x)在[0,1]上连续,且满足,求证:f(x)在(0,1)内至少存在两个零点.
设f(x)在[0,1]上连续,且满足,求证:f(x)在(0,1)内至少存在两个零点.
admin
2016-10-20
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问题
设f(x)在[0,1]上连续,且满足
,求证:f(x)在(0,1)内至少存在两个零点.
选项
答案
令F(x)=[*],显然G(c)在[0,1]可导,G(0)=0,又 [*] 对C(x)在[0,1]上用罗尔定理知,[*]∈(0,1)使得G’(c)=F(c)=0. 现由F(x)在[0,1]可导,F(0)=F(c)=F(1)=0,分别在[0,c],[c,1]对F(x)用罗尔定理知,[*]∈(0,c),ξ
2
∈(c,1),使得F’(ξ
1
)=f(ξ
1
)=0,F’(ξ
2
)=f(ξ
2
)=0,即f(x)在(0,1)内至少存在两个零点.
解析
为证f(x)在(0,1)内存在两个零点,只需证f(x)的原函数F(x)=
在[0,1]区间上有三点的函数值相等.由于F(0)=0,F(1)=0,故只需再考察F(x)的原函数G(x)=
,证明G(x)的导数在(0,1)内存在零点.
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考研数学三
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