设函数f(x)=x2ex+ax， (1)当a=0时，求函数f(x)的极大值。 (2)若方程f(x)=0，有三个不等的实根，求实数a的取值范围。

admin2017-01-22 17

问题设函数f(x)=x²e^x+ax，
(1)当a=0时，求函数f(x)的极大值。
(2)若方程f(x)=0，有三个不等的实根，求实数a的取值范围。

选项

答案(1)当a=0时，f(x)=x²e^x，令f’(x)=2xe^x+2x²e^x=0，x=0或一2是f(x)的极值，在(一∞，一2)，(0，+∞)上f’(x)＞0，在(一2，0)上f’(x)＜0，故x=一2时取极大值，f(一2)=[*]。 (2)由f(x)=x²e^x+ax=x(xe^x+a)=0，得x=0或xe^x+a=0。设g(x)=xe^x+a，若使方程f(x)=0有三个不等实根，则g(x)有两个不等实根且根不为0。对于函数h(x)=xe^x，由h’(x)=(x+1)e^x可知，当x＜一1时h’(x)＜0，当x＞一1时h’(x)＞0，即函数h(x)在(一∞，一1]上单调递减，在[—1，+∞)上单调递增，所以x=一1是h(x)的极小值点也是最小值点，h(一1)=一e^—1＜0。又因为[*]ex^x=+∞，且h(x)在R上只有x=0一个零点。所以函数h(x)在区间(一∞，0)上一个函数值有两个自变量与之对应，即只要将h(x)的图象向上移动且保证其最小值小于0就会得到两个零点，且这两个零点都不为0。所以，对于函数g(x)=h(x)+a，只要a＞0，且g(一1)=h(一1)+a=一e^—1+a＜0，就会有两个零点，解得0＜a＜e^—1。

解析

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