2. 考研
  3. (1999年)设函数y(χ)(χ≥0)二阶可导，且y′(χ)＞0，y(0)＝1．过曲线上任意一点P(χ，y)作该曲线的切线及χ轴的垂线，上述两直线与χ轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，χ]上以y＝y(χ)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1－S

(1999年)设函数y(χ)(χ≥0)二阶可导，且y′(χ)＞0，y(0)＝1．过曲线上任意一点P(χ，y)作该曲线的切线及χ轴的垂线，上述两直线与χ轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，χ]上以y＝y(χ)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1－S

admin2016-05-30  58
问题 (1999年)设函数y(χ)(χ≥0)二阶可导，且y′(χ)＞0，y(0)＝1．过曲线上任意一点P(χ，y)作该曲线的切线及χ轴的垂线，上述两直线与χ轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，χ]上以y＝y(χ)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1－S2恒为1，求此曲线y＝y(χ)的方程．
选项
答案曲线y＝y(χ)上点P(χ，y)处切线方程为 Y－y＝y′(χ)(X－χ) 它与χ轴的交点为(χ－[*]，0)．由于y′(χ)＞0，y(0),1，从而y(χ)＞0，于是 S1＝[*] 又S2＝∫0χy(t)dt 由条件2S1－S2＝1知 [*] 两边对χ求导并化简得yy〞＝(y′)2 令P＝y′，则上述方程可化为yP[*]＝P2 [*] 注意到y(0)＝1，并由(*)式知y′(0)＝1．从而可知C1＝1，C2＝0，故所求曲线的方程是y＝eχ
解析
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考研数学二

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