闭区域D由直线x+y=0,x轴和y轴所围成,求函数z=f(x,y)=x2y(4-x-y)在闭区域D上的最小值和最大值.

admin2022-07-21  45

问题 闭区域D由直线x+y=0,x轴和y轴所围成,求函数z=f(x,y)=x2y(4-x-y)在闭区域D上的最小值和最大值.

选项

答案首先在区域D内求驻点,令 [*] 在D内仅有唯一驻点(2,1),而且在点(2,1)处有, A=f’’xx(2,1)=(8y-6xy-2y2)|(2,1)=-6<0 B=f’’xy(2,1)=(8x-3x2-4xy)|(2,1)=-4 C=f’’yy(2,1)=-2x2(2,1)=-8 于是AC-B2=32,A<0,因而点(2,1)是极大值点,且极大值f(2,1)=4. 在D的边界x=0(0≤x≤6)和y=0(0≤x≤6)上,f(x,y)=0; 在D的边界x+y=6(0<x<6)上,把y=6-x代入f(x,y),可得 z=2x2(x-6)(0<x<6) 又z’=6x(x-4),并当0<x<4时,z’<0;当4<x<6时,z’>0.所以点(4,2)是这段边界上z的最小值点,最小值f(4,2)=-64,综合以上讨论知f(x,y)在D的边界上的最大值是0,最小值是f(4,2)=-64. 比较D内驻点的函数值f(2,1)=4和f(x,y)在D的边界上的最大值和最小值可得f(x,y)在D上的最大值和最小值分别是 [*]

解析
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