2. 考研
  3. 闭区域D由直线x+y=0，x轴和y轴所围成，求函数z=f(x，y)=x2y(4-x-y)在闭区域D上的最小值和最大值．

闭区域D由直线x+y=0，x轴和y轴所围成，求函数z=f(x，y)=x2y(4-x-y)在闭区域D上的最小值和最大值．

admin2022-07-21  40
问题 闭区域D由直线x+y=0，x轴和y轴所围成，求函数z=f(x，y)=x2y(4-x-y)在闭区域D上的最小值和最大值．
选项
答案首先在区域D内求驻点，令 [*] 在D内仅有唯一驻点(2，1)，而且在点(2，1)处有， A=f’’xx(2，1)=(8y-6xy-2y2)｜(2，1)=-6＜0 B=f’’xy(2，1)=(8x-3x2-4xy)｜(2，1)=-4 C=f’’yy(2，1)=-2x2｜(2，1)=-8 于是AC-B2=32，A＜0，因而点(2，1)是极大值点，且极大值f(2，1)=4． 在D的边界x=0(0≤x≤6)和y=0(0≤x≤6)上，f(x，y)=0； 在D的边界x+y=6(0＜x＜6)上，把y=6-x代入f(x，y)，可得 z=2x2(x-6)(0＜x＜6) 又z’=6x(x-4)，并当0＜x＜4时，z’＜0；当4＜x＜6时，z’＞0．所以点(4，2)是这段边界上z的最小值点，最小值f(4，2)=-64，综合以上讨论知f(x，y)在D的边界上的最大值是0，最小值是f(4，2)=-64． 比较D内驻点的函数值f(2，1)=4和f(x，y)在D的边界上的最大值和最小值可得f(x，y)在D上的最大值和最小值分别是 [*]
解析
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考研数学三

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