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案例： 阅读下列两位教师有关“数列前n项和”的教学片段。 教师甲的教学过程：等差数列前n项和 问题1：世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共画
案例： 阅读下列两位教师有关“数列前n项和”的教学片段。 教师甲的教学过程：等差数列前n项和 问题1：世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共画
admin
2015-08-13
121
问题
案例：
阅读下列两位教师有关“数列前n项和”的教学片段。
教师甲的教学过程：等差数列前n项和
问题1：世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共画了多少宝石吗?
图案中，第1层到第51层一共有多少颗宝石?组织学生分组讨论，在合作中学习，并把小组发现的方法一一呈现。
生1：原式：(1+2+3+……+50)+51
生2：原式=0+1+2+……+50+51
生3：原式=(1+2+…+25+27…+51)+26
问题2：求图案中从第1层到第n层(1＜n＜100，n∈N
*
)共有多少颗宝石?
学生通过激烈的讨论后，发现n为奇数时不能配对，可能需要分n为奇数、偶数的情况分别求解，教师引导学生，在三角形图案右侧倒放一个全等的三角形与原图补成平行四边形如图。
通过以上启发学生再自主探究，相信容易得出解法：
问题3：在公差为d的等差数列{a
n
}中，定义前n项和S
n
=a
1
+a
2
+…+a
n
，如何求S
n
?
由前面的大量铺垫，学生容易得出如下过程：
∵S
n
=a
1
+(a
1
+d)+(a
1
+2d)+…+[a
1
+(n-1)d]
S
n
=a
n
+(a
n
-d)+(a
n
-2d)+…+[a
n
-(n-1)d]
组织学生讨论：
在公式l中若将a
n
=a
1
+(n-1)d代入又可得出哪个表达式?
即：
教师乙的教学过程：等比数列前n项和
师：在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊。为什么呢?同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗?
(教师引导学生写出麦粒总数1+2+2
2
+2
3
+……2
63
。)
师：1+2+2
2
+2
3
+……2
63
是什么数列求和?有何特征?应归结为什么数学问题呢?
探讨1：设S
64
=1+2+2
2
+2
3
+……2
63
，记(1)式，注意观察每一项的特征，有何联系?(学生会发现，后一项都是前一项的2倍。)
探讨2：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，(1)式两边同乘以2则有2S
64
=2+2
2
+2
3
+……2
63
+2
64
，记为(2)式。比较(1)(2)两式，你有什么发现?
生：(1)、(2)两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：S
64
=2
64
-1。
师：对，这就是错位相减法。
(其他过程略。)
教师在讲解过求和公式后，再顺势引导学生将结论一般化，设等比数列{a
n
}，首项为a
1
，公比为q，如何求前n项和S
n
?让学生自主完成，并喊一名学生上黑板，然后对个别学生进行指导。
学生推导完成后，师问：由(1-q)S
n
=a
1
—a
1
q
n
得
对不对?这里的q能不能等于1?等比数列中的公比能不能为1? q=1时是什么数列?此时S
n
=?
师追问：结合等比数列的通项公式a
n
=a
1
q
n-1
，如何把S
n
用a
1
、a
n
、q表示出来?(引导学生得出公式的另一形式)
师：探究等比数列前n项和公式，还有其他方法吗?我们知道，
S
n
=a
1
+a
1
q+a
1
q
2
+…+a
1
q
n-1
=a
1
+q(a
1
+a
1
q+…+a
1
q
n-2
)
那么我们能否利用这个关系求出S
n
呢?根据等比数列的定义又有
，能否联想到等比定理从而求出S
n
呢?
问题：
(1)分析甲乙两位教师的教学过程。
(2)通过上述知识的学习过程，说明在此教学过程中培养了学生的哪些能力。
选项
答案
(1)甲教师本节课以故事引课，增强学生的好奇心，激发学生的学习欲望和热情。以问题为纽带，通过三个问题组织学生讨论，由特殊(自然数的前51项和)到一般(自然数的前几项和)，再到一类(等差数列前几项和)，循序渐进。 乙教师在本节课开始，设置了“棋盘上的数学”一例，让学生感受数学文化的熏陶，引起学生的兴趣，挑起学生探索新知识的欲望，进而提出了等比数列求和的问题。本节课例子设计精巧，使学生既巩固了知识，又形成了技能；通过例题讲解，进一步渗透分类讨论的思想，培养了分类讨论的思想和思维的缜密性。 (2)对问题进行层层递进的探究，使学生从不同的思维角度掌握了数列的前几项和公式，从中深刻领会推导过程所蕴涵的逻辑推理方法和数学思维方法，培养了学生思维的深刻性、尖锐性和批判性。通过精选例题分层次练习，使学生既巩固了知识又形成了技能。在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培养了学生自主学习、合作学习的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质。
解析
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数学学科知识与教学能力
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