设A是n阶矩阵，n维列向量α和β分别是A和AT的特征向量，特征值分别为1和2。 (Ⅰ)证明βTα=0； (Ⅱ)求矩阵βαT的特征值； (Ⅲ)判断βαT是否相似于对角矩阵(要说明理由)。

admin2018-11-16 111

问题设A是n阶矩阵，n维列向量α和β分别是A和A^T的特征向量，特征值分别为1和2。
(Ⅰ)证明β^Tα=0；
(Ⅱ)求矩阵βα^T的特征值；
(Ⅲ)判断βα^T是否相似于对角矩阵(要说明理由)。

选项

答案(Ⅰ)条件说明Aa=a，A^Tβ=2β，β^Ta=β^TAa=(A^Tβ)^Ta=2β^Ta，得β^Ta=0。 (Ⅱ)((βa)^T)²=βa^Tβa^T=(a^Tβ)βa^T，而a^Tβ=(β^Ta)^T=0，于是((βa)^T)²=0，从而βa^T的特征值λ都满足λ²=0，即βa^T的特征值都为。 (Ⅲ)βa^T不相似于对角矩阵，可用反证法说明。如果对角矩阵相似于βa^T，则这个对角矩阵的对角线上的元素是βa^T的特征值，都是0，即是零矩阵。βa^T相似于零矩阵，也一定是零矩阵，但是a和β分别是A和A^T的特征向量，都不是零向量，因此βa^T不是零矩阵。

解析

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考研数学三

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设A是n阶矩阵，n维列向量α和β分别是A和AT的特征向量，特征值分别为1和2。 (Ⅰ)证明βTα=0； (Ⅱ)求矩阵βαT的特征值； (Ⅲ)判断βαT是否相似于对角矩阵(要说明理由)。

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