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设A是n阶矩阵,n维列向量α和β分别是A和AT的特征向量,特征值分别为1和2。 (Ⅰ)证明βTα=0; (Ⅱ)求矩阵βαT的特征值; (Ⅲ)判断βαT是否相似于对角矩阵(要说明理由)。
设A是n阶矩阵,n维列向量α和β分别是A和AT的特征向量,特征值分别为1和2。 (Ⅰ)证明βTα=0; (Ⅱ)求矩阵βαT的特征值; (Ⅲ)判断βαT是否相似于对角矩阵(要说明理由)。
admin
2018-11-16
117
问题
设A是n阶矩阵,n维列向量α和β分别是A和A
T
的特征向量,特征值分别为1和2。
(Ⅰ)证明β
T
α=0;
(Ⅱ)求矩阵βα
T
的特征值;
(Ⅲ)判断βα
T
是否相似于对角矩阵(要说明理由)。
选项
答案
(Ⅰ)条件说明Aa=a,A
T
β=2β,β
T
a=β
T
Aa=(A
T
β)
T
a=2β
T
a,得β
T
a=0。 (Ⅱ)((βa)
T
)
2
=βa
T
βa
T
=(a
T
β)βa
T
,而a
T
β=(β
T
a)
T
=0,于是((βa)
T
)
2
=0,从而βa
T
的特征值λ都满足λ
2
=0,即βa
T
的特征值都为。 (Ⅲ)βa
T
不相似于对角矩阵,可用反证法说明。如果对角矩阵相似于βa
T
,则这个对角矩阵的对角线上的元素是βa
T
的特征值,都是0,即是零矩阵。βa
T
相似于零矩阵,也一定是零矩阵,但是a和β分别是A和A
T
的特征向量,都不是零向量,因此βa
T
不是零矩阵。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/x8W4777K
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考研数学三
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