设A是n阶矩阵，n维列向量α和β分别是A和AT的特征向量，特征值分别为1和2。 (Ⅰ)证明βTα=0； (Ⅱ)求矩阵βαT的特征值； (Ⅲ)判断βαT是否相似于对角矩阵(要说明理由)。

admin2018-11-16 84

问题设A是n阶矩阵，n维列向量α和β分别是A和A^T的特征向量，特征值分别为1和2。
(Ⅰ)证明β^Tα=0；
(Ⅱ)求矩阵βα^T的特征值；
(Ⅲ)判断βα^T是否相似于对角矩阵(要说明理由)。

选项

答案(Ⅰ)条件说明Aa=a，A^Tβ=2β，β^Ta=β^TAa=(A^Tβ)^Ta=2β^Ta，得β^Ta=0。 (Ⅱ)((βa)^T)²=βa^Tβa^T=(a^Tβ)βa^T，而a^Tβ=(β^Ta)^T=0，于是((βa)^T)²=0，从而βa^T的特征值λ都满足λ²=0，即βa^T的特征值都为。 (Ⅲ)βa^T不相似于对角矩阵，可用反证法说明。如果对角矩阵相似于βa^T，则这个对角矩阵的对角线上的元素是βa^T的特征值，都是0，即是零矩阵。βa^T相似于零矩阵，也一定是零矩阵，但是a和β分别是A和A^T的特征向量，都不是零向量，因此βa^T不是零矩阵。

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/x8W4777K

考研数学三

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设A是n阶矩阵，n维列向量α和β分别是A和AT的特征向量，特征值分别为1和2。 (Ⅰ)证明βTα=0； (Ⅱ)求矩阵βαT的特征值； (Ⅲ)判断βαT是否相似于对角矩阵(要说明理由)。

考研数学三

证明：

设(X，Y)的联合概率密度为．f(x，y)=求：(X，Y)的边缘密度函数；

设X的密度函数为f(x)=若P(X≥k)=，求k的取值范围．

设α1，…，αm，β为m+1维向量，β=α1+…+αm(m＞1)．证明：若α1，…，αm线性无关，则β一α1，…，β—αm线性无关．

设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，又此曲线上的点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线方程，并求函数y(x)的极值．

设正项数列{an}单调递减，且（—1）nan发散，试问级数是否收敛？并说明理由。

设有正项级数是它的部分和。（Ⅰ）证明收敛；（Ⅱ）判断级数是条件收敛还是绝对收敛，并给予证明。

已知{an}是单调增加且有界的正数列，证明：级数收敛．

设两个正数x1与x2的乘积是定数a，求xm1＋xn2的最小值．

(97年)设两个随机变量X与Y相互独立且同分布，P(X＝－1)＝P(Y＝－1)＝，P(X＝1)＝P(Y＝1)＝，则下列各式成立的是【】

行政案件的审理采用的是()

X线胶片经曝光、洗片处理，形成影像

“大鹏之动，非一羽之轻也；骐骥之速，非一足之力也。”这句话体现的哲理是()。

下列历史事件时间排序正确的一项是()。

Brandinganagecategorymightsoundlikeafrivolousexercise.Butlifestagesareprimarilysocialconstructs,andhistorysho

Writeanessayof160—200wordsbasedonthefollowingdrawing.Inyouressayyoushould1)describethedrawingbriefly,2)exp

Sheintendstomovethatthecommittee______discussiononthisissue.