设A是n阶矩阵，n维列向量α和β分别是A和AT的特征向量，特征值分别为1和2。 (Ⅰ)证明βTα=0； (Ⅱ)求矩阵βαT的特征值； (Ⅲ)判断βαT是否相似于对角矩阵(要说明理由)。

admin2018-11-16 98

问题设A是n阶矩阵，n维列向量α和β分别是A和A^T的特征向量，特征值分别为1和2。
(Ⅰ)证明β^Tα=0；
(Ⅱ)求矩阵βα^T的特征值；
(Ⅲ)判断βα^T是否相似于对角矩阵(要说明理由)。

选项

答案(Ⅰ)条件说明Aa=a，A^Tβ=2β，β^Ta=β^TAa=(A^Tβ)^Ta=2β^Ta，得β^Ta=0。 (Ⅱ)((βa)^T)²=βa^Tβa^T=(a^Tβ)βa^T，而a^Tβ=(β^Ta)^T=0，于是((βa)^T)²=0，从而βa^T的特征值λ都满足λ²=0，即βa^T的特征值都为。 (Ⅲ)βa^T不相似于对角矩阵，可用反证法说明。如果对角矩阵相似于βa^T，则这个对角矩阵的对角线上的元素是βa^T的特征值，都是0，即是零矩阵。βa^T相似于零矩阵，也一定是零矩阵，但是a和β分别是A和A^T的特征向量，都不是零向量，因此βa^T不是零矩阵。

解析

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考研数学三

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设A是n阶矩阵，n维列向量α和β分别是A和AT的特征向量，特征值分别为1和2。 (Ⅰ)证明βTα=0； (Ⅱ)求矩阵βαT的特征值； (Ⅲ)判断βαT是否相似于对角矩阵(要说明理由)。

考研数学三

求极限

求极限

求

设某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80件、10件和10件，现从中随机抽取一件，记Xi=求X1，X2的相关系数．

设函数y=y（x）由方程ylny—x+y=0确定，试判断曲线y=y（x）在点（1，1）附近的凹凸性。

设总体X的概率分布为为未知参数，对总体抽取容量为10的一组样本，其中五个取1，三个取2，一个取0。则θ的矩估计值为，最大似然估计值为。

求使得不等式在区域D=｜(x，y)｜x＞0，y＞0｜内成立的最小正数A与最大负数B．

设f(x)=，讨论函数f(x)的连续性，若有间断点，指明其类型．

设两个随机变量X与Y相互独立且同分布：P(X=－1)=P(y=－1)=1／2，P(X=1)=P(Y－1)=1／2，则下列各式中成立的是()．

下列选项属于哲学基本问题的内容的有()

不属于Ⅱ型呼吸衰竭临床表现的是

对于混凝土小型空心砌块、轻骨料混凝土小型空心砌块、蒸压加气混凝土砌块等，应控制产品龄期超过()时，方可使用。

第一个算出圆周率小数点后7位的科学家是：

八校尉

设f(x)二阶可导，且，f(1)=1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得ξf"(ξ)+2f’(ξ)=0。

在VisualBasic中，不能关闭的窗口是

以下叙述中正确的是()。

以下叙述中正确的是

设A是n阶矩阵，n维列向量α和β分别是A和AT的特征向量，特征值分别为1和2。 (Ⅰ)证明βTα=0； (Ⅱ)求矩阵βαT的特征值； (Ⅲ)判断βαT是否相似于对角矩阵(要说明理由)。

考研数学三

求极限

求极限

求

设某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80件、10件和10件，现从中随机抽取一件，记Xi=求X1，X2的相关系数．

设函数y=y（x）由方程ylny—x+y=0确定，试判断曲线y=y（x）在点（1，1）附近的凹凸性。

设总体X的概率分布为为未知参数，对总体抽取容量为10的一组样本，其中五个取1，三个取2，一个取0。则θ的矩估计值为________，最大似然估计值为________。

求使得不等式在区域D=｜(x，y)｜x＞0，y＞0｜内成立的最小正数A与最大负数B．

设f(x)=，讨论函数f(x)的连续性，若有间断点，指明其类型．

设两个随机变量X与Y相互独立且同分布：P(X=－1)=P(y=－1)=1／2，P(X=1)=P(Y－1)=1／2，则下列各式中成立的是()．

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不属于Ⅱ型呼吸衰竭临床表现的是

对于混凝土小型空心砌块、轻骨料混凝土小型空心砌块、蒸压加气混凝土砌块等，应控制产品龄期超过()时，方可使用。

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八校尉

设f(x)二阶可导，且，f(1)=1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得ξf"(ξ)+2f’(ξ)=0。

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以下叙述中正确的是()。

以下叙述中正确的是

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