设α1，α2，…，αs为线性方程组Aχ＝0的一个基础解系，β1＝t1α1＋t2α2，β2＝t1α2＋t2α3，…，βs＝t1αs＋t2α1，其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs也为Aχ＝0的一个基础解系．

admin2016-06-30 27

问题设α₁，α₂，…，α_s为线性方程组Aχ＝0的一个基础解系，β₁＝t₁α₁＋t₂α₂，β₂＝t₁α₂＋t₂α₃，…，β_s＝t₁α_s＋t₂α₁，其中t₁，t₂为实常数．试问t₁，t₂满足什么关系时，β₁，β₂，…，β_s也为Aχ＝0的一个基础解系．

选项

答案由Aχ＝0的解的线性组合都是解知，β₁，β₂，…，β_s都是Aχ＝0的解向量．由于已知Aχ＝0的基础解系含s个向量，所以，只要β₁，β₂，…，β_s线性无关，就可作为基础解系，否则不能作为基础解系．由于β₁，β₂，…，β_s由线性无关向量组α₁，α₂，…，α_s线性表示的系数矩阵为s阶方阵 [*] 故β₁，β₂，…，β_s线性无关[*]｜P｜＝t₁^s＋(－1)^1+st₂^s，即当t₁，t₂满足t₁^s＋(－1)^1+st₂^s≠0(s为偶数时，t₁≠±t₂；s为奇数时，t₁≠－t₂)时，β₁，β₂，…，β_s也是Aχ＝0的一个基础解系．

解析

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考研数学二

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设α1，α2，…，αs为线性方程组Aχ＝0的一个基础解系，β1＝t1α1＋t2α2，β2＝t1α2＋t2α3，…，βs＝t1αs＋t2α1，其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs也为Aχ＝0的一个基础解系．

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