设函数f(x)在[0，+∞)上可导,f(0)=1，且满足等式求导数f’(x)；

admin2017-01-13 43

问题设函数f(x)在[0，+∞)上可导,f(0)=1，且满足等式

求导数f’(x)；

选项

答案由题设知 (x+1)f’(x)+(x+1)f(x)一∫₀^xf(t)dt=0。上式两边对x求导，得 (x+1)f’’(x)=一(x+2)f’(x)，[*] 两边积分，得 ln｜f’(x)｜=一x一ln(x+1)+C₁，所以[*] 在题设等式中令x=0，得f’(0)+f(0)=0。又已知f(0)=1，于是f’(0)=一1，代入f’(x)的表达式，得C=一1，故有 [*]

解析

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考研数学二

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设y=ex是微分方程xy’+p(x)y=x的一个解，求此微分方程满足条件y|x=ln2=0的特解。
微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为________。
设函数y=y(x)在(－∞,+∞)内具有二阶导数，且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数。求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y’(0)=的解。
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