已知A=，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2。求正交变换x=Qy将f化为标准形。

admin2018-04-12 28

问题已知A=

，二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^T(A^TA)x的秩为2。
求正交变换x=Qy将f化为标准形。

选项

答案由第一问可得A^TA=[*]，所以 f=x^TA^TAx=(x₁，x₂，x₃)[*] =2x₁²+2x²x₂+4x₃²+4x₁x₃+4x₂x₃，令矩阵B=[*]，则｜λE一B｜=[*]=λ(λ一2)(λ一6)=0。解得B矩阵的特征值为λ₁=0；λ₂=2；λ₃=6。对于λ₁=0，解(λ₁E—B)x=0得对应的特征向量为η₁=[*]；对于λ₂=2，解(λ₂E一B)x=0得对应的特征向量为η₂=[*]；对于λ₃=6，解(λ₃E—B)x=0得对应的特征向量为η₃=[*]。将η₁，η₂，η₃单位化可得： [*] 令x=Qy，则该二次型的标准形为2y₁²+6y₂²。

解析

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