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3阶实对称矩阵A＝，B＝，其中k1，k2，k3为大于0的任意常数，证明A与B合同，并写出可逆矩阵C，使得CTAC＝B．
3阶实对称矩阵A＝，B＝，其中k1，k2，k3为大于0的任意常数，证明A与B合同，并写出可逆矩阵C，使得CTAC＝B．
admin
2021-04-07
81
问题
3阶实对称矩阵A＝
，B＝
，其中k
1
，k
2
，k
3
为大于0的任意常数，证明A与B合同，并写出可逆矩阵C，使得C
T
AC＝B．
选项
答案
A所对应的二次型为 f(x
1
，x
2
，x
3
)＝x
T
AX ＝(a
1
＋a
2
＋a
3
)x
1
2
＋(a
2
＋a
3
)x
2
2
＋a
3
x
3
2
＋2(a
2
＋a
3
)x
1
x
2
＋2a
3
x
1
x
3
＋2a
3
x
2
x
3
＝a
3
(x
1
2
＋2x
1
x
2
＋x
2
2
＋2x
1
x
3
＋2x
2
x
3
＋x
3
2
)＋a
2
(x
1
2
＋2x
1
x
2
＋x
2
2
)＋a
1
x
1
2
＝a
1
x
1
2
＋a
2
(x
1
＋x
2
)
2
＋a
3
(x
1
＋x
2
＋x
3
)
2
[*] 则f(x
1
，x
2
，x
3
)＝k
3
a
1
y
1
2
＋k
2
a
2
y
2
2
＋k
1
a
3
y
3
2
＝(y
1
，y
2
，y
3
)[*] 并将该式记为x＝Cy，因∣C∣＝[*]≠0，所以C为可逆矩阵，且C
T
AC＝B，故A与B合同，所以所求的可逆矩阵为 C＝[*]
解析
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