已知A是m×n矩阵，其m个行向量是齐次线性方程组Cx=0的基础解系，B是m阶可逆矩阵，证明：BA的行向量也是齐次方程组Cx=0的基础解系．

admin2016-05-31 51

问题已知A是m×n矩阵，其m个行向量是齐次线性方程组Cx=0的基础解系，B是m阶可逆矩阵，证明：BA的行向量也是齐次方程组Cx=0的基础解系．

选项

答案由已知可得A的行向量是Cx=0的解，即CA^T=O．则C(BA)^T=CA^TB^T=OB^T=0．可见BA的行向量是方程组Cx=0的解．由于A的行向量是基础解系，所以A的行向量线性无关，于是m=r(A)=n-r(C)．又因为B是可逆矩阵，r(BA)=r(A)=m=n-r(C)，所以BA的行向量线性无关，其向量个数正好是n-r(C)，因此是方程组Cx=0的基础解系．

解析

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